Доказать, что если пренебречь велечинами , (декартова система координат) то закон сохранения массы записывается в виде , где первый вариант тензора деформаций

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Доказать, что если пренебречь велечинами , (декартова система координат) то закон сохранения массы записывается в виде , где первый вариант тензора деформаций

Условие:

Доказать, что если пренебречь велечинами $\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{l}} \approx o\left(\delta^{2}\right)$ , (декартова система координат) то закон сохранения массы записывается в виде $\rho=\rho_{0}\left(1-J_{1}(\varepsilon)\right)$ , где

J_{1}(\varepsilon)=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}=\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial u_{3}}{\partial x_{3}}

первый вариант тензора деформаций $\varepsilon$

Решение:

Будем доказывать, что при малых деформациях, если члены порядка δ² (точнее, члены вида
(∂uᵢ/∂xⱼ)(∂uₖ/∂xₗ)) можно считать пренебрежимо малыми, уравнение сохранения массы примет вид

ρ = ρ₀ (1 – J₁(ε)),

где
J₁(ε) = ε₁₁ + ε₂₂ + ε₃₃ = ∂u₁/∂x₁ + ∂u₂/∂x₂ + ∂u₃/∂x₃.

Ниже приводится пошаговое доказательство.

──────────────────────────────
Шаг 1. Запись закона сохранения массы

При деформациях материального тела сохраняется масса каждого материала, то есть для произвольного объёма dV в первоначальном состоянии...