Доказать, что , указав для каждого такое , что для любого верно неравенство \( x_{n}

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

$Доказать, что , указав для каждого такое , что для любого верно неравенство \( x_{n}$

Условие:

Доказать, что $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ , указав для каждого $\varepsilon>0$ такое $N$ , что для любого $n \geqslant N$ верно неравенство $\left|x_{n}\right|<\varepsilon$ , если:

$x_{n}=1 / n$ . 2) $x_{n}=a / n$ ( $a$ - произвольное данное число).
$x_{n}=(-1)^{n+1} / n$ .
$x_{n}=\left(2+(-1)^{n}\right) / n$ .
$x_{n}=\left(1+(-1)^{n}\right) / n$ .
$x_{n}=\frac{1}{n} \sin \frac{\pi n}{2}$ .

Решение:

Рассмотрим каждую последовательность по отдельности и докажем, что её предел равен 0, то есть для любого ε > 0 можно выбрать натуральное число N такое, что для всех n ≥ N выполняется неравенство |xₙ| < ε.

Последовательность: xₙ = 1/n

Наблюдаем, что |xₙ| = 1/n. Чтобы 1/n < ε, необходимо чтобы n > 1/ε. Таким образом, для данного ε > 0 можно выбрать N = [1/ε] + 1 (где [∙] обозначает целую часть) так, что для всех n ≥ N будет выполнено неравенство. Следовательно, lim n→∞ 1/n =
0.
Последовательность: xₙ = a/n, где a – произвольное...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство последовательности $x_n$ является ключевым для доказательства того, что её предел равен нулю, используя определение предела по Коши?

Последовательность (x_n) должна быть монотонной.

Для любого сколь угодно малого положительного числа (\varepsilon) можно найти такой номер (N), что все члены последовательности, начиная с этого номера, по модулю будут меньше (\varepsilon).

Последовательность (x_n) должна быть ограничена.