Доказать, что предел последовательности при равен 1. При каких значениях будет выполнено неравенство \[ x_{n}-1

Добавлена: 16.04.2026
Обновлена: 16.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория пределов случайных величин

$Доказать, что предел последовательности при равен 1. При каких значениях будет выполнено неравенство \[ x_{n}-1$

Условие:

Доказать, что предел последовательности

x_{n}=\frac{n}{n+1}(n=1,2, \ldots)

при $n \rightarrow \infty$ равен 1. При каких значениях $n>N$ будет выполнено неравенство

\left|x_{n}-1\right|<\varepsilon

(

\varepsilon

- произвольное положительное число)? Найти

N

, если: а)

\varepsilon=0,1

; б)

\varepsilon=0,01

; в)

\varepsilon=0,001

Решение:

Шаг 1: Найдем предел последовательности.

Рассмотрим последовательность:

\nx_n = \frac{n}{n+1}

Чтобы найти предел этой последовательности при $n \rightarrow \infty$ , упростим выражение:

\nx_n = \frac{n}{n+1} = \frac{n}{n(1 + \frac{1}{n})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n}}

При $n \rightarrow \infty$ , $\frac{1}{n} \rightarrow 0$ , поэтому:

\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{1 + 0} = 1

Таким образом, мы доказали, что

\lim_{n \to \infty} x_n = 1.

Шаг 2: Найдем $N$ для выполнения неравенства $|x_n - 1| < \varepsilon$ .

Запишем неравен...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих выражений корректно описывает связь между $N$ и $\varepsilon$ для последовательности $x_n = \frac{n}{n+1}$, чтобы $|x_n - 1| < \varepsilon$ при $n > N$?

$N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil$