Доказать что ряд абсолютно сходится

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Условие:

Доказать что ряд абсолютно сходится

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{n}}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{n}}\right)

Решение:

Чтобы доказать, что ряд

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{n}}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{n}}\right)

абсолютно сходится, мы сначала рассмотрим модуль членов ряда:

\left| \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{n}} - \arcsin \frac{1}{\sqrt{n}} \right|.

Для этого нам нужно оценить разность (\operatorname{arctg} x - \arcsin x) для малых (x). Мы знаем, что при (x \to 0):

\operatorname{arctg} x \approx x \quad \text{и} \quad \arcsin x \approx x.

Однако, чтобы получить более точную оценку, мы можем использовать разложения в ряд Тейлора для (\operatorname{arctg} x)...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод является наиболее подходящим для определения абсолютной сходимости ряда, содержащего разность арктангенса и арксинуса от выражения, стремящегося к нулю, как в задаче?

Использование признака Даламбера для отношения последующего члена к предыдущему.

Применение разложений Тейлора для функций арктангенса и арксинуса для оценки асимптотического поведения общего члена ряда.

Непосредственное применение признака Лейбница для знакопеременных рядов.