Доказать, что всякая квадратная матрица А размера может быть единственным образом представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц, т.е. , где , и .

Добавлена: 11.04.2026
Обновлена: 11.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Доказать, что всякая квадратная матрица А размера может быть единственным образом представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц, т.е. , где , и .

Условие:

Доказать, что всякая квадратная матрица А размера $2 \times 2$ может быть единственным образом представлена в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц, т.е. $\mathbf{A}=\mathbf{A}^{\prime}+\mathbf{A}^{\prime \prime}$ , где $\mathbf{A}^{\prime \mathrm{T}}=\mathbf{A}^{\prime}$ , и $\mathbf{A}^{\prime \prime \mathrm{T}}=-\mathbf{A}^{\prime \prime}$ .

Решение:

Решение задачи о представлении квадратной матрицы в виде суммы симметричной и кососимметричной матриц

1. Дано

Пусть $\mathbf{A}$ — произвольная квадратная матрица размера $2 \times 2$ : $ \mathbf{A} =

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

$ Требуется доказать, что $\mathbf{A}$ может быть единственным образом представлена в виде суммы симметричной матрицы $\mathbf{A}'$ и кососимметричной матрицы $\mathbf{A}''$ :