Вычислите массу пластинки с плотностью распределенного вещества

Добавлена: 12.04.2026
Обновлена: 12.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Вычислите массу пластинки с плотностью распределенного вещества

Условие:

Вычислите массу пластинки $D: 1 \leq \frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leq 4 ; y \geq \frac{x}{2} ; x \geq 0$ с плотностью распределенного вещества $\mu=\frac{2 x y^{3}}{7}$

Решение:

1. Дано

Область $D$ ограничена условиями:

$1 \leq \frac{x^{2}}{4} + y^{2} \leq 4$ (кольцо между двумя эллипсами)
$y \geq \frac{x}{2}$ (область выше прямой)
$x \geq 0$ (первая и четвертая четверти)

Плотность распределения массы:

\mu(x, y) = \frac{2xy^3}{7}

2. Найти

Массу пластинки $M$ , которая вычисляется по формуле:

\nM = \iint\limits_D \mu(x, y) \, dx dy = \iint\limits_D \frac{2xy^3}{7} \, dx dy

3. Решение

Шаг 1: Переход к обобщенным полярным координатам Введем замену переменных для эллиптической области:

\nx = 2r \cos \phi, \quad y = r \sin \phi

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При вычислении массы пластинки с заданной плотностью распределенного вещества, когда область интегрирования представляет собой кольцо между эллипсами, какой метод преобразования координат наиболее целесообразно использовать?

Декартовы координаты, так как они наиболее просты для большинства задач.

Обобщенные полярные координаты, чтобы упростить границы области интегрирования.

Цилиндрические координаты, так как они подходят для областей, симметричных относительно оси.