Условие:
Доказать утверждение методом математической индукции: (3^n+1 × 5^n)^2 - 3^3n+2 × 2^2n ⋮ 13
Решение:
Мы докажем по методу математической индукции, что при любом натуральном n выражение
(3^(n+1)·5^n)² – 3^(3n+2)·2^(2n)
делится на 13.
Заметим, что (3^(n+1)·5^n)² = 3^(2n+2)·5^(2n). Тогда наше выражение можно записать в виде
A(n) = 3^(2n+2)·5^(2n) – 3^(3n+2)·2^(2n).
Поскольку число 3 и 13 взаимно просты, делимость A(n) на 13 эквивалентна делимости внутреннего выражения на 13. Для удобства вынесем общий множитель 3^(2n+2):
A(n) = 3^(2n+2)·[5^(2n) – 3^n·2^(2n)].
Обратим внимание, что 2^(2n) = 4^n, и перепишем степень 5^(2n) как (5²)^n = 25^n, а 3^n·4^n = (3·4)^n = 12^n. Таким образом, ...