![E = C([0,1]) — пространство непрерывных функций на [0,1]. 0 = \{ x0(t) \} — одномерное подпространство, натянутое на фиксированную функцию x0 C([0,1]), x0 0. Функционал f0 : E0 {R} определён так: 0( x0) = . Единственно ли продолжение с сохранением нормы](/public/images/library/external/library-detail-hero-book.png)
E = C([0,1]) — пространство непрерывных функций на [0,1].\nE_0 = \{ \lambda x_0(t) \} — одномерное подпространство, натянутое на фиксированную функцию x_0 \in C([0,1]), x_0 \neq 0.
Функционал f_0 : E_0 \to \mathbb{R} определён так:\nf_0(\lambda x_0) = \lambda.
Единственно ли продолжение с сохранением нормы если x0(t)=2t-1
Шаг 1. Формулировка исходных данных.
Рассмотрим пространство Е – C([0,1]), то есть пространство непрерывных функций на отрезке [0,1] с нормой ||x|| = supₜ |x(t)|.
Функция x₀ задана как x₀(t) = 2t – 1. Заметим, что ||x₀|| = maxₜ|2t – 1| = 1 (при t = 0 получаем |–1| = 1, при t = 1 получаем |1| = 1).
Подпространство E₀ – это одномерное подпространство вида {λ x₀ : λ ∈ ℝ}.
Функционал f₀ определён на E₀ по формуле f₀(λ x₀) = λ.
Шаг 2. Норма функционала f₀.
Норма f₀ равна sup { |f₀(λx₀)| : ||λx₀|| ≤ 1 }.
Поскольку ||λx₀|| = |λ|·||x₀|| = |λ|, то усл...
Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит
Попробуй решить по шагам
Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение
