Имеется выборка , отражающая время (в часах) доставки заказа курьерами. Известно, что \[ {X{i}}(x)= \{ {array}{ll} {1}{ } e^{ {1-x}{ }}, & x 1 \\ 0, & x0 \) неизвестен. Известно, что статистика является несмещённой оценкой параметра . Найдите константу .

Добавлена: 09.04.2026
Обновлена: 09.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория вероятностей и математическая статистика
#Математическая статистика

$Имеется выборка , отражающая время (в часах) доставки заказа курьерами. Известно, что \[ {X{i}}(x)= \{ {array}{ll} {1}{ } e^{ {1-x}{ }}, & x 1 \\ 0, & x0 \) неизвестен. Известно, что статистика является несмещённой оценкой параметра . Найдите константу .$

Условие:

Имеется выборка $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ , отражающая время (в часах) доставки заказа курьерами. Известно, что $ f_{X_{i}}(x)=\left{

\begin{array}{ll} \frac{1}{\theta} e^{\frac{1-x}{\theta}}, & x \geq 1 \\ 0, & x<1 \end{array}

$ где параметр $\theta>0$ неизвестен.

Известно, что статистика $\hat{\theta}_{n}=\left(\bar{X}_{n}-c\right)$ является несмещённой оценкой параметра $\theta$ . Найдите константу $c$ .
Проверьте, будет ли последовательность оценок $\hat{\theta}_{n}=\left(\bar{X}_{n}-\frac{n^{2}}{n^{2}+n}\right)$ асимптотически несмещённой и состоятельной.
Найдите состоятельную оценку вероятности того, что случайно выбранный курьер доставит заказ быстрее, чем за 2 часа.
Рассмотрим класс оценок $\mathcal{K}$ , состоящий из всех оценок вида $\hat{\theta}_{n}^{\{c\}}=\left(\bar{X}_{n}-c\right)$ , где $c \in \mathbb{R}$ . Докажите, что оценка $\hat{\theta}_{n}^{\{1\}}=\left(\bar{X}_{n}-1\right)$ является эффективной в данном классе (*подсказка: чему равна точка минимума среднеквадратической ошибки MSE произвольной оценки из рассматриваемого класса?)

Решение:

Дано

Имеется выборка $X_1, X_2, \ldots, X_n$ из распределения с плотностью вероятности: $f_{X_{i}}(x)=\left{

\begin{array}{ll} \frac{1}{\theta} e^{\frac{1-x}{\theta}}, & x \geq 1 \\ 0, & x<1 \end{array}

где $\theta > 0$ — неизвестный параметр.

Это распределение является экспоненциальным распределением со сдвигом. Если мы положим $Y = X - 1$ , то $Y \geq 0$ , и плотность $f_Y(y) = \frac{1}{\theta} e^{-y/\theta}$ , что соответствует экспоненциальному распределению с параметром $\theta$ .