, где - полуокружность , пробегаемая по часовой стрелке.

Добавлена: 02.05.2026
Обновлена: 02.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

, где - полуокружность , пробегаемая по часовой стрелке.

Условие:

$\int_{\Gamma}\left(x \cos y^{4}+2 y\right) d x+\left(2 y-2 x^{2} y^{3} \sin y^{4}\right) d y$ , где $\Gamma$ - полуокружность $x^{2}+y^{2}= =4 y, x \geqslant 0$ , пробегаемая по часовой стрелке.

Решение:

Рассмотрим заданную криволинейную интегральную сумму

I = ∫Γ [ (x cos y⁴ + 2y) dx + (2y – 2x²y³ sin y⁴) dy ],

где Γ – дуга окружности, заданной уравнением
x² + y² = 4y и условием x ≥ 0,
то есть это правая полуокружность круга с центром (0,2) и радиусом 2. Кривая пробегается по часовой стрелке. Прямая полуокружность не является замкнутой кривой, поэтому для вычисления интеграла удобно «замкнуть» её, добавив отрезок–хорду, и затем с помощью теоремы Грина найти интеграл по замкнутой кривой; после этого отнять вклад хорды.

───────────────...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое преобразование координат наиболее удобно использовать для вычисления площади области D, ограниченной полуокружностью $x^2 + y^2 = 4y$, $x \ge 0$?

Декартовы координаты, так как область является частью круга.

Полярные координаты, так как уравнение $x^2 + y^2 = 4y$ легко преобразуется в $r = 4 \sin \phi$ .