Использование функции Лагранжа. Пусть для двух товаров целевая функция потребления имеет вид , вектор цен равен ; величина дохода равна 10 . Найти предельную полезность.

Добавлена: 14.04.2026
Обновлена: 14.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория оптимизации

Использование функции Лагранжа. Пусть для двух товаров целевая функция потребления имеет вид , вектор цен равен ; величина дохода равна 10 . Найти предельную полезность.

Условие:

Использование функции Лагранжа. Пусть для двух товаров целевая функция потребления имеет вид $\mathrm{U}(\mathrm{X})=\left(\mathrm{X}_{1}-1\right)^{*}(\mathrm{X} 2+1)^{2}$ , вектор цен равен $P=(2 ; 4)$ ; величина дохода равна 10 . Найти предельную полезность.

Решение:

Шаг 1: Дано

Целевая функция полезности:
$U(X) = (X_1 - 1) (X_2 + 1)^2$
Вектор цен:
$P = (2, 4)$
Доход:
$I = 10$

Шаг 2: Найти

Нам нужно найти предельную полезность, что означает, что мы должны максимизировать целевую функцию при условии ограничений бюджета.

Шаг 3: Постановка задачи

Ограничение бюджета можно записать как:

2X_1 + 4X_2 = 10

Теперь мы можем составить функцию Лагранжа:

\mathcal{L}(X_1, X_2, \lambda) = (X_1 - 1)(X_2 + 1)^2 + \lambda (10 - 2X_1 - 4X_2)

Шаг 4: Найдем частные производные

Теперь найдем частные произв...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно функции Лагранжа, используемой для нахождения экстремума функции полезности при бюджетном ограничении?

Функция Лагранжа всегда равна нулю в точке оптимума.

Частные производные функции Лагранжа по переменным товаров и по множителю Лагранжа приравниваются к нулю для нахождения условного экстремума.

Множитель Лагранжа всегда представляет собой предельную полезность дохода.