Найти область определения функции. Исследовать функцию на четность-нечетность. Найти вертикальные асимптоты. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

Давайте поэтапно исследуем функцию $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.

1. Область определения функции

Функция определена для всех $x$, кроме тех, для которых знаменатель равен нулю. В данном случае:

$
x^2 + 1 = 0
$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2$ всегда неотрицательно, а $x^2 + 1$ всегда положительно.

Таким образом, область определения функции:

$
D = \mathbb{R}
$

2. Исследование функции на четность-нечетнос...

Чтобы проверить четность или нечетность функции, подставим $-x$:

$$y(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = y(x)$$

Так как $y(-x) = y(x)$, функция четная.

Вертикальные асимптоты возникают, когда знаменатель функции стремится к нулю. Мы уже выяснили, что $x^2 + 1$ никогда не равен нулю. Следовательно, вертикальных асимптот нет.

Посмотрим на предел функции при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

$$\lim{x \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$

$$\lim{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$

Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота $y = 1$.

Для нахождения экстремумов найдем производную функции:

$$y = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x(x^2 + 1 - x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$$

Приравняем производную к нулю:

$$4x = 0 \implies x = 0$$

Теперь исследуем знак производной:

• При $x 0$, $y 0$ (функция убывает).
• При $x 0$, $y 0$ (функция возрастает).

Таким образом, в точке $x = 0$ находится минимум. Значение функции в этой точке:

$$y(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = -1$$

Найдем вторую производную:

$$y = \frac{(4)(x^2 + 1)^2 - (4x)(2(x^2 + 1)(2x))}{(x^2 + 1)^4}$$

Упрощая, мы можем найти точки перегиба, приравняв $y = 0$. Это будет сложнее, но в общем случае, если вторая производная меняет знак, то это точка перегиба.

• Пересечение с осью $y$ (при $x = 0$):

  $$y(0) = -1 \quad \text{(точка (0, -1))}$$

• Пересечение с осью $x$ (при $y = 0$):

  $$\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1 \quad \text{(точки (1, 0) и (-1, 0))}$$

Теперь, имея все данные, мы можем построить график функции. График будет четным, с минимумом в точке (0, -1), пересечениями с осями в точках (1, 0), (-1, 0) и асимптотой $y = 1$.

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Убывает от $-\infty$ до $0$ и достигает минимума $-1$.
• Возрастает от $0$ до $+\infty$, приближаясь к горизонтальной асимптоте $y = 1$.

Таким образом, мы завершили исследование функции $y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.