Исследовать на экстремум функционал

Добавлена: 01.05.2026
Обновлена: 01.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Вариационное исчисление

Условие:

Исследовать на экстремум функционал $

\begin{array}{c}\nJ[y(x), z(x)]=\int_{0}^{\pi / 2}\left(y^{\prime 2}-2 y^{2}+2 y z-z^{\prime 2}\right) d x \\ y(0)=0, y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, z(0)=0, z\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 \end{array}

Решение:

Шаг 1. Запишем функционал и определим лагранжиан.
Функционал имеет вид
J[y(x), z(x)] = ∫₀^(π/2) (y′² – 2y² + 2yz – z′²) dx
с краевыми условиями
y(0) = 0, y(π/2) = 1, z(0) = 0, z(π/2) = 1.
Лагранжианом L является
L = y′² – 2y² + 2yz – z′².

Шаг 2. Выпишем уравнения Эйлера–Лагранжа для y и z.
Для функции y имеем:
∂L/∂y = –4y + 2z,
∂L/∂y′ = 2y′.
Уравнение Эйлера–Лагранжа:
d/dx(2y′) – (–4y + 2z) = 0 ⟹ 2y″ + 4y – 2z = 0.
Разделим на 2:
y″ + 2y – z =
0. (1)
<br /...