Исследовать на сходимость: а) , б) .

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Условие:

Исследовать на сходимость: а) $\int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{x-\operatorname{arctg} \frac{x}{3}} d x$ , б) $\int_{0}^{1} \frac{3 x+\sqrt{x}}{\ln \left(1+2 x^{2}\right)} d x$ .

Решение:

Рассмотрим по частям каждый из интегралов.

──────────────────────────────

Интеграл (а):
Iₐ = ∫₁^(∞) [√(x + 1) / (x – arctan(x/3))] dx

Шаг 1. Анализ асимптотики при x → ∞

• Для числителя: √(x + 1) при x → ∞ ведёт себя как √x.
• Для знаменателя: arctan(x/3) при x → ∞ → π/2, поэтому
x – arctan(x/3) ~ x – π/2 ≈ x (при x очень большом, постоянный слагаемый π/2 можно отбросить).

Шаг 2. Приближённое поведение подынтегральной функции

При x → ∞ получаем:
√(x + 1)/(x – arctan(x/3)) ~ √x/...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод является наиболее подходящим для исследования сходимости несобственного интеграла первого рода вида ∫a^∞ f(x) dx, где f(x) непрерывна на [a, ∞)?

Метод интегрирования по частям.

Использование признаков сравнения путём анализа асимптотического поведения подынтегральной функции при x → ∞.

Вычисление первообразной функции и подстановка пределов интегрирования.