Разбор задачи

Исследовать СЛАУ на совместность, найти общее и базисное решения. (Можно решить и исследовать методом Гаусса).

Условие:

Исследовать СЛАУ на совместность, найти общее и базисное решения. (Можно решить и исследовать методом Гаусса). $ \text { Вариант №5 }\left{

\begin{array}{c} 5 x_{1}+6 x_{2}+9 x_{3}-3 x_{4}=4 \\ 3 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}-2 x_{4}=5 \\ 3 x_{1}+14 x_{2}+3 x_{3}-x_{4}=-8 \end{array}

Исследуем систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Дана система:
$

\begin{cases} 5x_1 + 6x_2 + 9x_3 - 3x_4 = 4 \\ 3x_1 + x_2 + 6x_3 - 2x_4 = 5 \\ 3x_1 + 14x_2 + 3x_3 - x_4 = -8 \end{cases}

Запишем расширенную матрицу системы:

\left(

\begin{array}{cccc|c} 5 & 6 & 9 & -3 & 4 \\ 3 & 1 & 6 & -2 & 5 \\ 3 & 14 & 3 & -1 & -8 \end{array}

**Шаг 1.** Обнулим элементы под ведущим элементом в первом столбце. Поменяем местами первую и вторую строку, чтобы ведущий элемент был меньше по модулю для удобства (не обязательно, но можно):

\left(

\begin{array}{cccc|c} 3 & 1 & 6 & -2 & 5 \\ 5 & 6 & 9 & -3 & 4 \\ 3 & 14 & 3 & -1 & -8 \end{array}

Умножим первую строку на \(5\) и вычтем из второй строки, умноженной на \(3\)? Лучше делать последовательно: Из второй строки вычтем первую, умноженную на \(5/3\)? Неудобно. Давайте лучше работать с целыми числами: Сначала сделаем так: \(R_2 \leftarrow R_2 - R_1\) и \(R_3 \leftarrow R_3 - R_1\) после подходящей перестановки? Проще: вернемся к исходной матрице и начнем с нее. Исходная:

\begin{pmatrix} 5 & 6 & 9 & -3 & 4 \\ 3 & 1 & 6 & -2 & 5 \\ 3 & 14 & 3 & -1 & -8 \end{pmatrix}

$...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) была совместной?

Ранг основной матрицы должен быть равен числу переменных.

Ранг расширенной матрицы должен быть равен числу строк в матрице.

Ранг основной матрицы должен быть равен рангу расширенной матрицы.