Исследовать сходимость числовых рядов: ,

Добавлена: 15.04.2026
Обновлена: 15.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Условие:

Исследовать сходимость числовых рядов: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{(2 n+1)!}$ , $\frac{1^{3}-0}{2^{4}}+\frac{2^{3}-1}{3^{4}}+\frac{3^{3}-2}{4^{4}}+\ldots$

Решение:

1. Исследование сходимости ряда (а)

Дано: Числовой ряд

\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{(2 n+1)!}

Найти: Сходимость ряда.

Решение

Для исследования сходимости ряда с факториалами и степенями используем признак Даламбера (признак отношения). Нам нужно вычислить предел отношения следующего члена ряда к предыдущему:

\nL = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|

Запишем $a_n$ и $a_{n+1}$ :
$a_n = \frac{n^{n}}{(2 n+1)!}$

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой признак сходимости числовых рядов наиболее эффективен для исследования ряда, общий член которого содержит факториалы и степени, как в случае с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{(2 n+1)!}$?

Интегральный признак Коши

Признак Даламбера

Признак сравнения