Разбор задачи

Исследуйте функцию на экстремум с помощью необходимого и достаточного условия (D-теста):

Условие:

f(x, y)=e^{8 x+2 y}\left(x^{2}-3 y^{2}\right) .

Для исследования функции на экстремумы с помощью D-теста, начнем с нахождения частных производных и вычисления гессиана.

Шаг 1: Найдем частные производные функции $f(x, y)$ .

Функция задана как:

f(x, y) = e^{8x + 2y} (x^2 - 3y^2).

Найдем частные производные:

f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = e^{8x + 2y} \cdot (2x - 3y^2) + e^{8x + 2y} \cdot (8)(x^2 - 3y^2) = e^{8x + 2y} \left( (2x - 3y^2) + 8(x^2 - 3y^2) \right).

Упростим:

f_x = e^{8x + 2y} \left( 2x + 8x^2 - 3y^2 - 24y^2 \right) = e^{8x + 2y} \left( 8x^2 + 2x - 27y^2 \right).

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из шагов является первым при исследовании функции на экстремум с помощью D-теста?

Нахождение критических точек функции.

Вычисление частных производных первого порядка.

Вычисление вторых частных производных и определителя гессиана.