Какие из точек на окружности соответствуют значениям ?

Чтобы найти значения $\sqrt[3]{i}$, начнем с представления комплексного числа $i$ в полярной форме.

1. Запишем $i$ в полярной форме:
   • Модуль $|i| = 1$.
   • Аргумент $\arg(i) = \frac{\pi}{2}$ (так как $i$ находится на положительной мнимой оси).

Таким образом, $i$ можно записать как:

2. Теперь найдем кубический корень из $i$:

   • По формуле для нахождения корней комплексных чисел, кубический корень можно выразить как:
     $$\sqrt[3]{r} \left( \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \right)$$
     где $r$ — модуль, $\theta$ — аргумент, $n$ — степень корня, а $k = 0, 1, 2$ для нахождения всех корней.

3. Подставим наши значения:

   • $r = 1$, $\theta = \frac{\pi}{2}$, $n = 3$.
   • Получаем:
     $$\sqrt[3]{i} = 1 \left( \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3}\right) \right)$$
     ...