Квадратичная форма в некотором базисе задаётся формулой: Найти матрицу формы в базисе , если координаты векторов в базисе связаны с координатами векторов в базисе соотношением:

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Квадратичная форма в некотором базисе задаётся формулой: Найти матрицу формы в базисе , если координаты векторов в базисе связаны с координатами векторов в базисе соотношением:

Условие:

Квадратичная форма $q$ в некотором базисе $\left\{e_{i}\right\}_{i-1}^{2}$ задаётся формулой:

q(x)=-5\left(\xi^{1}\right)^{2}+6 \xi^{1} \xi^{2}-2\left(\xi^{2}\right)^{2}

Найти матрицу формы $q$ в базисе $\left\{\tilde{e}_{i}\right\}_{i-1}^{2}$ , если координаты векторов $\xi^{i}$ в базисе $\left\{e_{i}\right\}_{i-1}^{2}$ связаны с координатами векторов $\tilde{\xi}^{i}$ в базисе $\left\{\tilde{e}_{i}\right\}_{i-1}^{2}$ соотношением: $ \left{

\begin{array}{l} \xi^{1}=-\tilde{\xi}^{2} \\ \xi^{2}=\tilde{\xi}^{1} \end{array}

Решение:

Шаг 1. Записываем заданную квадратичную форму в базисе {e₁, e₂}:\nq(x) = –5 (ξ¹)² + 6 ξ¹ξ² – 2 (ξ²)².

Шаг 2. Подставляем зависимость координат из нового базиса {ẽ₁, ẽ₂} в связи ξ¹ = –~ξ², ξ² = ~ξ¹.
Получим:
ξ¹ = –~ξ²,
ξ² = ~ξ¹.

Шаг 3. Выражаем квадратичную фо...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое преобразование координат необходимо выполнить при переходе от старого базиса к новому, чтобы правильно найти матрицу квадратичной формы в новом базисе?

Выразить координаты старого базиса через координаты нового базиса и подставить их в исходную квадратичную форму.

Выразить координаты нового базиса через координаты старого базиса и подставить их в исходную квадратичную форму.

Найти матрицу перехода от старого базиса к новому и использовать её для преобразования исходной матрицы квадратичной формы.