Миша вычислил число , а Лёша вычислил число . Сравните полученные Лёшей и Мишей числа. (Сравнить два числа - значит выяснить, равны ли они, и, если они не равны, то какое из этих чисел больше.)

Добавлена: 08.05.2026
Обновлена: 08.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория чисел

Миша вычислил число , а Лёша вычислил число . Сравните полученные Лёшей и Мишей числа. (Сравнить два числа - значит выяснить, равны ли они, и, если они не равны, то какое из этих чисел больше.)

Условие:

Миша вычислил число $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}$ , а Лёша вычислил число $\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\cdots+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}$ .

Сравните полученные Лёшей и Мишей числа. (Сравнить два числа - значит выяснить, равны ли они, и, если они не равны, то какое из этих чисел больше.)

Решение:

Для начала давайте вычислим сумму, которую посчитал Миша:

S_M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{19} - \frac{1}{20}

Эта сумма представляет собой чередующуюся гармоническую серию. Мы можем сгруппировать её по парам:

S_M = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{19} - \frac{1}{20}\right)

Каждая пара имеет вид:

\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{1}{n(n+1)}

Теперь давайте посчитаем количество пар. У нас есть 20 членов, значит, у нас будет 10 пар:

S_M = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(2k-1)(2k)} = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{2k(2k-1)}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое свойство ряда $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{19} - \frac{1}{20}$ позволяет упростить его вычисление или сравнение?

Это арифметическая прогрессия, что позволяет использовать формулу суммы.

Это чередующийся гармонический ряд, который можно сгруппировать по парам для упрощения.

Это геометрическая прогрессия, что позволяет использовать формулу суммы.