На доске выписаны числа . Разрешается стереть любые два числа и и заменить их на число . Какое число останется после 99 таких операций?

Дано:

Набор чисел: $S = \{x_1, x_2, \dots, x_{100}\}$, где $x_n = \frac{1}{n}$ для $n = 1, 2, \dots, 100$. Операция: стираем $a$ и $b$, записываем $a + b + ab$.

Найти:

Число, которое останется после $99$ операций.

Решение:

Рассмотрим выражение $a + b + ab$. Заметим, что если мы прибавим к нему единицу, то получим: $a + b + ab + 1 = a(1 + b) + (1 + b) = (a + 1)(b + 1)$.

Это ключевое наблюдение. Давайте проследим, как меняется произведение вида $(x_1 + 1)(x_2 + 1) \dots (x_n + 1)$ при выполнении операции.

Пусть у нас есть набор ч...