На поверхности \( x=u v, y=u v, z=u+v(0 v

Добавлена: 28.04.2026
Обновлена: 28.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальная геометрия

$На поверхности \( x=u v, y=u v, z=u+v(0 v$

Условие:

На поверхности $x=u \cos v, y=u \sin v, z=u+v(0 \leq v<2 \pi$ , $0\leq u<\infty)$ найти линии, ортогональные к линиям, вдоль которых полная кривизна поверхности постоянна.

Решение:

Шаг 1. Выясним, какие линии на поверхности имеют постоянную полную кривизну.

Заметим, что у поверхности полная (суммарная) кривизна, равная сумме главных кривизн, в данном случае оказывается функцией от параметра u. При анализе оказывается, что если зафиксировать u, то изменение параметра v ведёт к тому, что сумма главных кривизн (которая равна 2H) остаётся неизменной – ведь в выражении для H, полученном через коэффициенты первых и вторых фундаментальных форм, параметр u фиксирован. Действительно, при u = const параметр v изменяется, и такие кривые задаются уравнениями

u = const, v = па...