На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5,

Добавлена: 21.06.2026
Обновлена: 21.06.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Дискретная математика
#Теория чисел

Условие:

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше -40.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек. А наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1? б) Может ли количество синих карт быть равным 40? в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Решение:

Для решения задачи введем следующие обозначения:

$n$ — количество синих карточек;
$m$ — количество красных карточек;
$S = \{s_1, s_2, \dots, s_n\}$ — множество чисел на синих карточках (все $s_i$ делятся на $5$ , $s_i > -40$ , все $s_i$ различны);
$R = \{r_1, r_2, \dots, r_m\}$ — множество чисел на красных карточках (все $r_j$ четные, $r_j > -40$ , все $r_j$ различны).

По условию:

$\max(R) = 2n$
$\max(S) = m$

Так как $s_i$ делятся на $5$ , то $\max(S)$ должно делиться на $5$ . Значит, $m$ кратно $5$ . Так как $r_j$ четные, то $\max(R)$ должно быть четным. $2n$ всегда четно, что согла...