Найдите частные производные по переменным x и y от функции = 6r − 7rcos(φ) − 2rsin(φ) + 3(r^2) + 4(r^2)cos(φ) + 2(r^2)sin(φ), где x = rCos(φ), y = r Sin(φ)

Добавлена: 10.04.2026
Обновлена: 10.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найдите частные производные по переменным x и y от функции = 6r − 7rcos(φ) − 2rsin(φ) + 3(r^2) + 4(r^2)cos(φ) + 2(r^2)sin(φ), где x = rCos(φ), y = r Sin(φ)

Условие:

Найдите частные производные по переменным x и y от функции \nz = 6*r − 7*r*cos(φ) − 2*r*sin(φ) + 3*(r^2) + 4*(r^2)*cos(φ) + 2*(r^2)*sin(φ), где x = r*Cos(φ), y = r* Sin(φ)

Решение:

1. Дано

Функция $z$ в полярных координатах $(r, \varphi)$ :

z = 6r - 7r\cos(\varphi) - 2r\sin(\varphi) + 3r^2 + 4r^2\cos(\varphi) + 2r^2\sin(\varphi)

Связь между декартовыми $(x, y)$ и полярными $(r, \varphi)$ координатами:

x = r\cos(\varphi)

y = r\sin(\varphi)

Из этих соотношений также следуют:

r^2 = x^2 + y^2 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt{x^2 + y^2}

\cos(\varphi) = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}

\sin(\varphi) = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}

2. Найти

Требуется найти частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При нахождении частных производных функции $z(r, \varphi)$ по декартовым координатам $x$ и $y$, где $x = r\cos(\varphi)$ и $y = r\sin(\varphi)$, какой метод следует использовать?

Метод непосредственной подстановки $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ и $\varphi = \arctan(y/x)$ в выражение для $z$ , а затем дифференцирование.

Цепное правило для функций нескольких переменных, рассматривая $z$ как функцию от $r$ и $\varphi$ , которые, в свою очередь, являются функциями от $x$ и $y$ .

Метод Лагранжа для условного экстремума, так как полярные координаты являются ограничением для декартовых.

Что нужно знать по теме:

Что нужно знать по теме

Частная производная функции нескольких переменных — это производная функции по одной из этих переменных, при условии, что остальные переменные считаются константами.
Цепное правило для функций нескольких переменных используется, когда функция $z$ зависит от переменных $u$ и $v$ , которые, в свою очередь, зависят от других переменных $x$ и $y$ . В этом случае частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ вычисляются как $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$ .
Декартовы координаты $(x, y)$ и полярные координаты $(r, \varphi)$ связаны соотношениями: $x = r\cos(\varphi)$ , $y = r\sin(\varphi)$ .
Из соотношений между декартовыми и полярными координатами следуют формулы для $r$ и $\varphi$ : $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ , $\cos(\varphi) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ , $\sin(\varphi) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ .
При вычислении частных производных полярных координат по декартовым, например, $\frac{\partial r}{\partial x}$ , можно использовать неявное дифференцирование из соотношения $r^2 = x^2 + y^2$ или прямую подстановку $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ .