Найдите функцию по её полному дифференциалу и значению В ответе укажите значение найденной функции в точке .

Добавлена: 12.04.2026
Обновлена: 12.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найдите функцию по её полному дифференциалу и значению В ответе укажите значение найденной функции в точке .

Условие:

Найдите функцию $F(x, y)$ по её полному дифференциалу

d F=\frac{x \ln y+y}{x} d x+\frac{y \ln x+x}{y} d y

и значению

F(e ; 1)=3 .

В ответе укажите значение найденной функции в точке $\left(1 ; e^{2}\right)$ .

Решение:

1. Дано

Полный дифференциал функции $F(x, y)$ имеет вид:

dF = P(x, y) dx + Q(x, y) dy

где:

P(x, y) = \frac{x \ln y + y}{x} = \ln y + \frac{y}{x}

Q(x, y) = \frac{y \ln x + x}{y} = \ln x + \frac{x}{y}

Также известно начальное условие:

F(e, 1) = 3

2. Найти

Значение функции $F(1, e^2)$ .

3. Решение

Шаг 1: Проверка условия потенциальности Для того чтобы выражение было полным дифференциалом, должно выполняться равенство смешанных производных $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ :

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое условие должно выполняться для того, чтобы дифференциальное выражение $P(x, y) dx + Q(x, y) dy$ являлось полным дифференциалом некоторой функции $F(x, y)$?

$P(x, y) = Q(x, y)$