Пусть - натуральное число. Для набора натуральных чисел и множества натуральных чисел назовём пару ( ) прекрасной, если в множестве есть хотя бы элементов и для любых элементов множества , для которых и ? Можно начать исследование с частных случаев,

Пусть $r \geqslant 2$ - натуральное число. Для набора $K=\left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{r}\right)$ натуральных чисел и множества $S$ натуральных чисел назовём пару ( $K, S$ ) прекрасной, если в множестве $S$ есть хотя бы $r$ элементов и для любых элементов $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{r}$ множества $S$, для которых $x_{1}<x_{2}<\ldots<x_{r}$, число $k_{1} x_{1}+k_{2} x_{2}+\ldots+k_{r} x_{r}$ также принадлежит $S$.

1. a) Докажите, что для любого набора $K$ существует множество $S$ такое, что пара ( $K, S$ ) прекрасна. б) Верно ли, что если пары ( $K, S_{1}$ ) и ( $K, S_{2}$ ) прекрасные,то пара ( $K, S_{1} \cup S_{2}$ ) тоже прекрасная?
2. Пусть ( $K, S$ ) - некоторая прекрасная пара и $K=\left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{r}\right)$.\na) Докажите, что множество $S$ бесконечно. б) Может ли оказаться, что существует лишь конечное количество наборов $L=\left(\ell_{1}, \ell_{2}, \ldots, \ell_{r}\right)$ таких, что пара ( $L, S$ ) тоже прекрасная?
3. а) Докажите, что если $K=(1,1)$ и пара ( $K, S$ ) прекрасна, то существует натуральное число $m$, для которого $m n \in S$ при любом натуральном $n$. б) Ответьте на вопрос пункта 3а) для набора $K=(1,1,1)$. в) Ответьте на вопрос пункта 3а) для набора $\mathrm{K}=(1,1, \ldots, 1)$, состоящего из $r \geqslant 4$ единиц. г) Попытайтесь ответить на вопрос пункта 3а) для произвольного набора $K$.

Будем говорить, что набор $\mathrm{K}=\left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{r}\right)$ является регулярным, если существует такой индекс $i \in\{1,2, \ldots, r-1\}$, что $k_{i} \leq k_{i+1}$. Через $A_{s}(n)$ обозначим количество чисел в множестве $S$, не превосходящих $n$. 4. Дана прекрасная пара ( $K, S$ ) лля некоторого регулярного набора $K$. Докажите, что для некоторых $c>0, d>0$, и любого натурального $n$ выполнено неравенство

$$A_{S}(n) \geq c \sqrt{n}-d$$

5. Как вы можете оценить $A s(n)$ снизу для произвольной прекрасной пары ( $K, S$ ) для нерегулярного набора $K$ ? 6. Пусть $\alpha$ - действительное число из полуинтервала $(0,1]$. При каких условиях на $K$ можно утверждать, что $A s(n) \geqslant c n^{a}-d$ для некоторых $c>0$ и $d \in \mathbb{R}$ ? Можно начать исследование с частных случаев, например $\alpha=1$ или $\alpha=2 / 3$. 7. Предложите свои обобщения, связанные с прекрасными парами, и исследуйте их.