Найдите наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (HOK) многочленов и

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Теория чисел
#Алгебраические структуры

Найдите наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (HOK) многочленов и

Условие:

Найдите наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (HOK) многочленов $-17+21 x-5 x^{2}+x^{3} \quad$ и $\quad 68+x+17 x^{2}-3 x^{3}+x^{4}:$

Решение:

Запишем многочлены:
Первый многочлен: P(x) = -5x² + 21x - 17 + x³ = x³ - 5x² + 21x - 17
Второй многочлен: Q(x) = x⁴ - 3x³ + 17x² + x + 68
Начнем с деления Q(x) на P(x):
Выполним деление многочлена Q(x) на P(x) с использованием деления многочленов.
- Делим старший член Q(x) (x⁴) на старший член P(x) (x³), получаем x.
- Умножаем P(x) на x: x * (x³ - 5x² + 21x - 17) = x⁴ - 5x³ + 21x² - 17x.
- Вычитаем результат из Q(x):
  Q(x) - (x⁴ - 5x³ + 21x² - 17x) = (0 + 2x³ - 21x² + 18x + 68).
Теперь у нас есть остаток R(x) = 2x³ - 21x² + 18x +
68.
Теперь продолжаем процесс, делим P(x) на R(x):
- Делим старший член P(x) (x³) на старший член R(x) (2x³), получаем 1/2.
- Умножаем R(x) на 1/2 и вычитаем из P(x):
  P(x) - (1/2(2x³ - 21x² + 18x + 68)) = (0 + 0 + 21/2x² - 17 - 34) = (21/2x² - 51/2).
Теперь у нас есть новый остаток S(x) = 21/2x² - 51/2.
Следующий шаг - делим R(x) на S(x):
- Делим старший член R(x) (2x³) на старший член S(x) (21/2x²), получаем (4/21)x.
- Умножаем S(x) на (4/21)x и вычитаем из R(x).
Продолжаем этот процесс, пока не получим остаток, равный нулю. Последний ненулевой остаток будет являться НОД.
После нахождения НОД, наименьшее общее кратное (НОК) можно найти по формуле:
НОК(P, Q) = (P *...