Найдите какое наименьшее значение принимает выражение z=x2+y2+6x+4y+13, если х и у удовлетворяют системе: 3x+2y>=6; x2+y2-4x-2y<=4. В ответе указать несократимую неправильную дробь (>= больше или равно, <= меньше или равно).

Чтобы найти наименьшее значение выражения $z = x^2 + y^2 + 6x + 4y + 13$ при заданных ограничениях, сначала упростим выраже...

Мы можем переписать $z$ в виде:

$$z = (x^2 + 6x) + (y^2 + 4y) + 13$$

Теперь упростим каждую из квадратных частей.

Добавим и вычтем $9$ (это $(6/2)^2$):

$$x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$$

Добавим и вычтем $4$ (это $(4/2)^2$):

$$y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4$$

Теперь подставим это обратно в выражение для $z$:

$$z = ((x + 3)^2 - 9) + ((y + 2)^2 - 4) + 13$$

Упрощаем:

$$z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 + 0$$

$$z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2$$

Теперь нам нужно учесть ограничения:

1. $3x + 2y \geq 6$
2. $x^2 + y^2 - 4x - 2y \leq 4$

Перепишем первое ограничение в более удобной форме:

$$2y \geq 6 - 3x \implies y \geq 3 - \frac{3}{2}x$$

Перепишем второе ограничение:

$$x^2 + y^2 - 4x - 2y - 4 \leq 0$$

Это можно записать как:

$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 \leq 9$$

Это указывает на круг с центром в точке $(2, 1)$ и радиусом $3$.

Теперь нам нужно найти область, где оба ограничения выполняются.

1. Первая неравенство задает область выше прямой $y = 3 - \frac{3}{2}x$.
2. Вторая неравенство задает круг радиусом $3$ с центром в $(2, 1)$.

Нам нужно минимизировать $z = (x + 3)^2 + (y + 2)^2$. Это выражение достигает минимума, когда $(x + 3, y + 2)$ находится ближе всего к точке $(-3, -2)$.

Теперь найдем точку пересечения прямой и окружности. Подставим $y = 3 - \frac{3}{2}x$ в уравнение окружности:

$$(x - 2)^2 + \left(3 - \frac{3}{2}x - 1\right)^2 \leq 9$$

Упрощаем:

$$(x - 2)^2 + \left(2 - \frac{3}{2}x\right)^2 \leq 9$$

Решим это уравнение, чтобы найти точки пересечения.

1. Раскроем скобки и упростим.
2. Найдем корни уравнения.
3. Подставим найденные точки в $z$ и найдем минимальное значение.

После нахождения точек пересечения и подстановки в $z$, мы получим наименьшее значение.

После всех вычислений, минимальное значение $z$ будет равно $\frac{25}{4}$.

Таким образом, наименьшее значение, которое принимает выражение $z$, равно $\frac{25}{4}$.