Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона её основания равна , а угол между гранью и основанием равен .

Нам нужно найти объём правильной (т.е. с квадратным основанием и равными боковыми сторонами) четырёхугольной пирамиды, зная, что сторона основания a = 2√3, а угол между гранью (боковой стороной пирамиды) и основанием равен 60°.

Мы решим задачу по следующим шагам:

──────────────────────────────
Шаг 1. Запишем данные.
──────────────────────────────
• Сторона основания:
  a = 2√3
• Площадь основания (квадрата):
  S_осн = a² = (2√3)² = 4·3 = 12
• Диагональ между гранью и основанием (диэдральный угол между боковой гранью и основанием) равен 60°.

──────────────────────────────
Шаг 2. Выберем подходящий разрез (плоскость) для определения высоты пирамиды.
──────────────────────────────
Чтобы связать угол между гранью и основанием с высотой пирамиды, рассмотрим одну из боковых граней. Заметим, что в правильной пирамиде апофема (перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на сторону основания в плоскости боковой грани) падает в середину стороны основания.

Обозначим:
  P – вершина пирамиды,
  AB – сторона основания длиной 2√3,
  F – середина отрезка AB.

Поскольку пирамида правильная, основание – квадрат, а проекция вершины P на основание (точка O – центр квадрата) находится на одной вертикальной линии с вершиной. При этом F – середина стороны, а расстояние от центра квадрата до середины стороны равно:
  OF = a/2 = (2√3)/2 = √3.

──────────────────────────────
Шаг 3. Связь между углом между гранью и основанием и высотой пирамиды.
──────────────────────────────
Рассмотрим разрез плоскостью, содержащей точки P и F, а также перпендикулярной стороне AB, которая является линией пересечения боковой грани с основанием.

В этой плоскости:
  • Отрезок PF лежит в боковой грани и является высотой треугольника PAB (боковой грани).
  • Вертикальная проекция точки P на основание – точка O.
  • Отрезок FO = √3 – горизонтальное расстояние от F до O.

Поскольку угол между плоскостью боковой грани и основанием (измеряется по линии AB) равен 60°,
в треугольнике PFO угол между отрезком PF и его горизонтальной проекцией (FO) равен 60°.

В этом прямоугольном треугольнике с прямым углом в точке O получаем:
  tan(60°) = (вертикальная составляющая) / (горизонтальная составляющая)
  то есть tan(60°) = h / OF,
где h – высота пирамиды (расстояние PO).

Так как tan(60°) = √3, а OF = √3, имеем:
  h / √3 = √3  →  h = (√3)·(√3) =
3.

──────────────────────────────
Шаг 4. Вычисляем объём пирамиды.
──────────────────────────────
Объём пирамиды определяется по формуле:
  V = (1/3) · S_...