Условие:
Найдите объем тела, полученного при вращении квадрата вокруг диагонали, если его сторона равна 4см.
Решение:
Рассмотрим квадрат со стороной 4 см. Пусть вершины квадрата имеют координаты (0,0), (4,0), (4,4) и (0,4). Диагональ, относительно которой происходит вращение, – это отрезок, соединяющий точки (0,0) и (4,4).
Чтобы найти объём тела вращения, удобно перейти к новым координатам, повернув систему на 45° так, чтобы ось вращения совпала с новой осью u. Введём следующие координаты: u = (x + y)/√2 и v = (x – y)/√2. При этом прямая x = y переходит в прямую v = 0, то есть ось вращения – линия v = 0. Кроме того, преобразование – поворот, так что якобиан равен 1.
Объём тела можно вычислить по формуле, ...