Найдите область сходимости ряда Укажите радиус сходимости. Укажите область сходимости, выбрав правильный ответ из перечисленных: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 5) 0 ; 6) .

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Условие:

Найдите область сходимости ряда

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(17 n^{2}+33 n+55\right) \cdot x^{n}}{2^{n} \cdot n^{4}}

Укажите радиус сходимости. Укажите область сходимости, выбрав правильный ответ из перечисленных:

$(-2 ; 2)$ ;
$[-2 ; 2)$ ;
$(-2 ; 2]$ ;
$[-2 ; 2]$ .
0 ;
$(-\infty ; \infty)$ .

Решение:

Мы рассматриваем ряд

∑ₙ₌₁⁽∞⁾ [(17n² + 33n + 55)·xⁿ]⁄[2ⁿ·n⁴].

Наша задача – найти радиус сходимости и определить, при каких x ряд сходится.

──────────────────────────────
Шаг 1. Нахождение радиуса сходимости

Запишем общий член ряда:
aₙ = (17n² + 33n + 55)·xⁿ⁄(2ⁿ·n⁴).

Для нахождения радиуса сходимости удобно воспользоваться D’Alembert (признаком отношения). Рассмотрим предел:
L = limₙ→∞ |aₙ₊₁ / aₙ|.

Подставим aₙ и aₙ₊₁:
aₙ₊₁ = (17(n+1)² + 33(n+1) + 55)·xⁿ⁺¹⁄(2ⁿ⁺¹·(n+1)⁴).

...