Найдите общее решение уравнения ≤ft(-3 x-2 x2 ight) yprime prime+≤ft(-12+4 x2 ight) yprime+(24+12 x) y=0 если известно его частное решение y=exp (2 x).

Мы хотим найти общее решение уравнения   (-3x – 2x²) y″ + (–12 + 4x²) y′ + (24 + 12x) y = 0, зная частное решение y₁(x) = e^(2x).

Цель – найти второе решение y₂ методом редукции порядка. Покажем пошагово.

──────────────────────────────

1. Замена вида

Мы ищем решение в виде   y = v(x)·y₁(x) = v(x)·e^(2x). Вычислим производные:   y′ = v′ e^(2x) + 2v e^(2x) = e^(2x)(v′ + 2v),   y″ = e^(2x)(v″ + 4v′ + 4v).

────────────────────────────── 2. Подстановка в исходное уравнение

Подставляем y, y′, y″ в уравнение:   (-3x – 2x²)·[e^(2x)(v″ + 4v′ + 4v)]    + (–12 + 4x²)·[e^(2x)(v′ + 2v)]    + (24 + 12...