Определить точки разрыва функции и исследовать характер точек разрыва: ) ; б)

Добавлена: 13.04.2026
Обновлена: 13.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Определить точки разрыва функции и исследовать характер точек разрыва: ) ; б)

Условие:

Определить точки разрыва функции и исследовать характер точек разрыва:\na) $f(x)=x \cdot \sin \frac{\pi}{x}$ ; б) $f(x)=\left{

\begin{array}{lll}\frac{1}{x+1} & , & x \leq 4, \\ \sqrt{x-4} & , & x>4\end{array}

Решение:

Задание 1a: $f(x) = x \cdot \sin \frac{\pi}{x}$

Шаг 1: Определение области определения

Функция $f(x)$ определена для всех $x \neq 0$ , так как $\sin \frac{\pi}{x}$ не существует при $x = 0$ . Поэтому точка, которая может быть точкой разрыва, это $x = 0$ .

Шаг 2: Исследование пределов

Теперь исследуем поведение функции при приближении к $x = 0$ . Вычислим предел:

\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \cdot \sin \frac{\pi}{x}

Используем известный предел: $\sin t \to t$ при $t \to 0$ . Подставим $t = \frac{\pi}{x}$ , тогда при $x \to 0$ , $t \to \infty$ и $\sin t$ колеблется между...