Найдите все значения , при которых уравнение имеет ровно два решения.

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Найдите все значения , при которых уравнение имеет ровно два решения.

Условие:

Найдите все значения $a$ , при которых уравнение $

\begin{array}{c} \left(\log _{8}(x+a)-\log _{8}(x-a)\right)^{2}- \\ -12 a\left(\log _{8}(x+a)-\log _{8}(x-a)\right)+ \\ +35 a^{2}-6 a-9=0 \end{array}

$ имеет ровно два решения.

Решение:

Рассмотрим уравнение

(log₈(x + a) – log₈(x – a))² – 12a (log₈(x + a) – log₈(x – a)) + 35a² – 6a – 9 =
0.

Шаг 1. Сделаем замену
y = log₈((x + a)/(x – a)).
Тогда уравнение примет вид
y² – 12a·y + (35a² – 6a – 9) =
0.

Шаг 2. Решим это квадратное уравнение относительно y. Для этого вычислим дискриминант.
Δ = (12a)² – 4·1·(35a² – 6a – 9)
= 144a² – 4(35a² – 6a – 9)
= 144a² – 140a² + 24a + 36
= 4a² + 24a + 36
= 4(a² + 6a + 9)
= 4(a + 3)².
Очевидно, Δ ≥ 0 для лю...