Найти евклидову норму градиента функции в точке . Ответ округлить до трех знаков после запятой.

Добавлена: 12.04.2026
Обновлена: 12.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Численные методы

Условие:

Найти евклидову норму градиента функции $

\begin{array}{c}\nf\left(x_{1}, \ldots, x_{10}\right)=x_{1} \ln \left(x_{1}\right)+x_{2} \ln \left(x_{1}+x_{2}\right) \ldots+x_{10} \ln \left(x_{1}+\ldots+x_{10}\right)= \\ =\sum_{k=1}^{10} x_{k} \ln \left(\sum_{j=1}^{k} x_{j}\right) \end{array}

$ в точке $(1,2,3, \ldots, 10)$ . Ответ округлить до трех знаков после запятой.

Решение:

1. Дано

Функция:

f\left(x_{1}, \ldots, x_{10}\right)=\sum_{k=1}^{10} x_{k} \ln \left(\sum_{j=1}^{k} x_{j}\right)

Точка, в которой нужно вычислить норму градиента:

\mathbf{x}^* = (x_1^*, x_2^*, \ldots, x_{10}^*) = (1, 2, 3, \ldots, 10)

2. Найти

Евклидову норму градиента функции $f$ в точке $\mathbf{x}^*$ :

\| \nabla f(\mathbf{x}^*) \|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{10} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x}^*) \right)^2}

3. Решение

Шаг 1: Нахождение частных производных

Нам нужно найти $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ для $i = 1, 2, \ldots, 10$ .

Обозначи...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какое из следующих утверждений верно относительно частной производной $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ для функции $f\left(x_{1}, \ldots, x_{10}\right)=\sum_{k=1}^{10} x_{k} \ln \left(\sum_{j=1}^{k} x_{j}\right)$?

$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \ln\left(\sum_{j=1}^{i} x_{j}\right) + \frac{x_i}{\sum_{j=1}^{i} x_{j}} + \sum_{k=i+1}^{10} \frac{x_k}{\sum_{j=1}^{k} x_{j}}$

$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_{k=1}^{10} \left( \delta_{ik} \ln\left(\sum_{j=1}^{k} x_{j}\right) + x_k \frac{1}{\sum_{j=1}^{k} x_{j}} \right)$