Найти градиент функции z = f (x, y) в точке M. . Найти производную функции z = f (x, y) в точке M по направлению данного вектора. .

Добавлена: 05.05.2026
Обновлена: 05.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Найти градиент функции z = f (x, y) в точке M.

$z=\ln x^{3}+2 y-5 x y ; \quad M(3 ; 1)$ .

Найти производную функции z = f (x, y) в точке M по направлению данного вектора.

$z=\sqrt{x} \cdot y+y^{2}+x ; \quad M(1 ; 0) ; \quad \bar{a}=2 \bar{i}+\bar{j}$ .

Решение:

────────────────────────────
Задача
4.
Дана функция
z = ln(x³) + 2y – 5xy, точка M(3; 1).

Заметим, что ln(x³) можно записать как 3·ln x, поэтому функция переписывается в виде

f(x, y) = 3·ln x + 2y – 5x·y.

Найдём градиент этой функции, то есть частные производные по x и y.

Частная производная по x:
∂f/∂x = производная [3 ln x] по x + производная [2y] по x – производная [5xy] по x.

- d/dx [3 ln x] = 3·(1/x) = 3/x.
- d/dx [2y] = 0 (так как y считается постоянной).
-...