ВАРИАНТ 9 1. Найти и изобразить на плоскости О.Д.3. функции двух переменных [ z=ln rac{x^{2}+y^{2}}{x-y} ]

Для того чтобы найти и изобразить на плоскости функции двух переменных $z = \ln \frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение области определения функции

Функция $z$ определена, когда аргумент логарифма положителен, то есть:
$
\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y} 0
$

Это условие можно разбить на два подусловия:
1. $x^{2} + y^{2} 0$ (это всегда верно, кроме точки $(0, 0)$).
2. $x - y 0$ или $x - y 0$.

Таким образом, необходимо рассмотреть два случая:
- $x - y 0$ (то есть $x y$)
- $x - y 0$ (то есть $x y$)

Шаг 2: Анализ области определения

1. Для $x y$:
- Здесь $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y} 0$ будет выполняться, так как числитель всегда положителен, а знаменатель положителен.

2. Для $x y$:
- Здесь $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y} 0$, так как числитель положителен, а знаменатель отрицателен. Это условие не подходит.

Таким образом, область определения функции $z$ — это область, где $x y$.

Шаг 3: Построение графика функции

Теперь, когда мы определили область, мы можем построить график функции. Для этого удобно использовать численные методы или программное обеспечение для построения графиков, например, Python с библиотеками Matplotlib и NumPy.

Шаг 4: Пример вычисления значений

Для построения графика можно взять несколько значений $x$ и $y$ в области $x y$ и вычислить соответствующие значения $z$.

Например:
- Пусть $x = 2$ и $y = 1$:
$
z = \ln \frac{2^{2}+1^{2}}{2-1} = \ln \frac{4+1}{1} = \ln 5 \approx 1.609
$

- Пусть $x = 3$ и $y = 1$:
$
z = \ln \frac{3^{2}+1^{2}}{3-1} = \ln \frac{9+1}{2} = \ln 5 \approx 1.609
$

- Пусть $x = 3$ и $y = 2$:
$
z = \ln \frac{3^{2}+2^{2}}{3-2} = \ln \frac{9+4}{1} = \ln 13 \approx 2.565
$

Шаг 5: Построение графика

Используя полученные значения, можно построить график функции $z$ в области $x y$.

Для построения графика можно использовать следующий код на Python:

Таким образом, мы нашли область определения функции и построили график функции $z = \ln \frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ для $x y$.