Найти интервал сходимости степенного ряда . Исследовать сходимость на концах интервала. .

Добавлена: 18.05.2026
Обновлена: 18.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Теория функций действительного переменного

Найти интервал сходимости степенного ряда . Исследовать сходимость на концах интервала. .

Условие:

Найти интервал сходимости степенного ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ . Исследовать сходимость на концах интервала. $a_{n}=\frac{\ln (n+2)}{n}$ .

Решение:

1. Дано

Степенной ряд:

\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}

где коэффициенты

a_{n}

заданы как:

\na_{n}=\frac{\ln (n+2)}{n}

2. Найти

Интервал сходимости ряда.
Исследование сходимости на концах интервала сходимости.

3. Решение

Шаг 1: Нахождение радиуса сходимости $R$

Радиус сходимости $R$ степенного ряда можно найти по формуле Коши-Адамара:

\nR = \frac{1}{\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}

Подставим наше выражение для $a_n$ :

|a_n| = \left| \frac{\ln (n+2)}{n} \right| = \frac{\ln (n+2)}{n}

Нам нужно вычислить предел:

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из методов является наиболее подходящим для определения радиуса сходимости степенного ряда $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n} $ с общим членом $ a_{n}=\frac{\ln (n+2)}{n} $?

Признак Даламбера для ряда из модулей $\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$