Найти координаты вектора в базисе если в базисе его координаты равны

Добавлена: 04.05.2026
Обновлена: 04.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Найти координаты вектора в базисе если в базисе его координаты равны

Условие:

Найти координаты вектора $\vec{x}$ в базисе $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}$ если в базисе $\vec{a}_{1}, \vec{a}_{2}, \vec{a}_{3}$ его координаты равны $\vec{x}(-2 ;-4 ;-3)$ $

\begin{aligned} \vec{b}_{1} & =\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+\frac{1}{2} \vec{a}_{3} \\ \vec{b}_{2} & =-\vec{a}_{1}-\vec{a}_{2} \\ b_{3} & =-\vec{a}_{1}+\vec{a}_{2}+\vec{a}_{3} \end{aligned}

Решение:

Запишем вектор x в базисе a в виде:
x = (–2)a₁ + (–4)a₂ + (–3)a₃.

Нам нужно найти такие координаты c₁, c₂, c₃, что
x = c₁·b₁ + c₂·b₂ + c₃·b₃
при условии, что
b₁ = a₁ + a₂ + ½a₃,
b₂ = –a₁ – a₂,
b₃ = –a₁ + a₂ + a₃.

Подставим выражения для bᵢ:
x = c₁·(a₁ + a₂ + ½a₃) + c₂·(–a₁ – a₂) + c₃·(–a₁ + a₂ + a₃).

Вынесем коэффициенты...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой метод используется для нахождения координат вектора в новом базисе, если известны его координаты в старом базисе и выражения векторов нового базиса через старый?

Метод Крамера для решения системы линейных уравнений.

Подстановка выражений нового базиса в разложение вектора и приравнивание коэффициентов при векторах старого базиса.

Использование формулы для изменения базиса через матрицу перехода, умноженную на вектор координат.