Найти неопределённый интеграл методом замены переменной. В качестве ответа указать значение первообразной при произвольной постоянной, равной нулю, и переменной, равной (округлить результат до 4-х знаков после десятичного разделителя).

Добавлена: 03.05.2026
Обновлена: 03.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найти неопределённый интеграл методом замены переменной. В качестве ответа указать значение первообразной при произвольной постоянной, равной нулю, и переменной, равной (округлить результат до 4-х знаков после десятичного разделителя).

Условие:

Найти неопределённый интеграл $\int \frac{\operatorname{arcotg}^{4}(8-x) d x}{1+(8-x)^{2}}$ методом замены переменной. В качестве ответа указать значение первообразной при произвольной постоянной, равной нулю, и переменной, равной $-0,811$ (округлить результат до 4-х знаков после десятичного разделителя).

Решение:

Шаг 1. Выпишем заданный интеграл:
I = ∫[arcot⁴(8 – x) / (1 + (8 – x)²)] dx

Шаг 2. Сделаем замену переменной u = 8 – x. Тогда дифференциал dx = –du. Подставляем в интеграл:
I = –∫[arcot⁴(u) / (1 + u²)] du

Шаг 3. Заметим, что производная функции arcot(u) равна:
d(arcot(u))/du = –1/(1 + u²)
Отсюда получаем выражение для du:
du = –(1 + u²) d(arcot(u))

Шаг 4. Сделаем вторую замену: положим t = arcot(u). Тогда dt = –1/(...