Условие:
Для нахождения объёма тела вращения вокруг оси ОX области, ограниченной кривыми $y=x^{2}$ и $y=v x$, воспользуемся методом вращающих срезов (методом колец).
Шar 1. Найдем точки пересечения кривых.
Приравняем: $\quad \mathrm{x}^{2}=\mathrm{Vx}$
Возведём $\mathbf{V}$ х в квадрат (но удобнее переписать $V \times$ как $x^{\wedge}(1 / 2)$ ): $\quad x^{2}=x^{\wedge}(1 / 2)$
Чтобы избавиться от корня, можно возвести обе части в квадрат или привести к общему виду. Лучше перепишем уравнение
следующим образом: $\quad x^{2}-x^{\wedge}(1 / 2)=0$
Вынесем $x^{\wedge}(1 / 2): \quad x^{\wedge}(1 / 2)\left(x^{\wedge}(3 / 2)-1\right)=0$
Отсюда:
1. $x^{\wedge}(1 / 2)=0 \rightarrow x=0$,
2. $x^{\wedge}(3 / 2)-1=0 \rightarrow x^{\wedge}(3 / 2)=1 \rightarrow x=1$.
Таким образом, точки пересечения: $\mathbf{x}=0$ и $\mathbf{x = 1}$.
Шаг 2. Определим, какая кривая находится выше на отрезке $[0,1]$.
Проверим, например, в точке $x=0.25: \quad y=(0.25)^{2}=0.0625, \quad y=v 0.25=0.5$. Таким образом, на $[0,1]$ функция $y=v x$ лежит выше, а $y=x^{2}-$ ниже.
При вращении области вокруг оси ОХ мы получаем кольца (чашечки). При данном методе объём элемента приращения определяется как разность между внешним и внутренним радиусом.
Шar 3. Запишем формулу для объёма методом колец.
Для вращения вокруг оси $O X$ при интегрировании по $x$ будем иметь: $\quad d V=\pi\left[R^{2}(x)-r^{2}(x)\right] d x$, где $R(x)$ - внешний радиус (расстояние от оси ОХ до верхней функции), ar(x) - внутренний радиус (расстояние от оси OX до нижней функции).
В нашем случае: $\quad R(x)=v x \quad n \quad r(x)=x^{2}$.
Таким образом: $\quad \mathrm{dV}=\boldsymbol{\pi}\left[(\mathrm{Vx})^{2}-\left(\mathrm{x}^{2}\right)^{2}\right] \mathrm{dx}=\boldsymbol{\pi}\left[\mathrm{x}-\mathrm{x}^{4}\right] \mathrm{dx}$.
Шаг 4. Вычислим объём, проинтегрировав по $x$ от 0 до 1 .
Общий объём: $\quad V=\boldsymbol{\pi} \int 0^{1}\left(x-x^{4}\right) d x$.
Выполним интегрирование: $\quad \int{0}{ }^{1} x d x=\left[x^{2} / 2\right]$ от О до $1=1 / 2, \quad \int{0}{ }^{1} x^{4} d x=\left[x^{5} / 5\right]$ от 0 до $1=1 / 5$.
Таким образом: $\quad V=\pi[(1 / 2)-(1 / 5)]=\pi[(5-2) / 10]=\pi(3 / 10)=(3 \pi) / 10$.
Шar 5. Запишем окончательный ответ.
Объём тела, образованного вращением заданной области вокруг оси ОX, равен: $\quad V=(3 \pi) / 10$.
Таким образом, ответ: (3п)/10.