Найти общее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами двумя способами: а) методом исключения, б) используя характеристическое уравнение матрицы указанной системы. Система: ẋ = 4х + 6у ẏ = -2х - 4у

Добавлена: 17.09.2026
Обновлена: 17.09.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Линейная алгебра и аналитическая геометрия
#Дифференциальные уравнения

Условие:

Найти общее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами двумя способами: а) методом исключения, б) используя характеристическое уравнение матрицы указанной системы.
Система:
ẋ = 4х + 6у
ẏ = -2х - 4у

Решение:

Для решения данной системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами запишем её в стандартном виде:

\begin{cases} \dot{x} = 4x + 6y \\ \dot{y} = -2x - 4y \end{cases}

а) Метод исключения

Шаг 1: Исключение переменной $y$ Из первого уравнения выразим $y$ :

6y = \dot{x} - 4x \implies y = \frac{1}{6}\dot{x} - \frac{2}{3}x

Шаг 2: Дифференцирование Продифференцируем полученное выражение по времени $t$ :

\dot{y} = \frac{1}{6}\ddot{x} - \frac{2}{3}\dot{x}

Шаг 3: Подстановка во второе уравнение Подставим выражения для $y$ и $\dot{y}$ ...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из методов решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами предполагает нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы системы?

Метод исключения

Метод подстановки

Использование характеристического уравнения матрицы