Найти поток векторного поля через поверхность в направлении внешней нормали. , -верхняя полусфера: .

Чтобы найти поток векторного поля $\vec{F}$ через поверхность $S$ в направлении внешней нормали, мы будем использовать теорему Гаусса (или теорему о дивергенции). Поток векторного поля через поверхность $S$ можно выразить как интеграл по поверхности:

где $d\vec{S}$ — вектор площади, направленный наружу.

1. Вычислим дивергенцию векторного поля $\vec{F}$:

   $$\vec{F} = (x^3 + yz) \vec{i} + (y^8 + xz) \vec{j} + (z^3 + xy) \vec{k}$$
   Дивергенция $\nabla \cdot \vec{F}$ вычисляется как:
   $$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + yz) + \frac{\partial}{\partial y}(y^8 + xz) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3 + xy)$$

   Вычислим каждую из производных:

   • Первая часть: $\frac{\partial}{\partial x}(x^3 + yz) = 3x^2$
   • Вторая часть: $\frac{\partial}{\partial y}(y^8 + xz) = 8y^7$
   • Третья часть: $\frac{\partial}{\partial z}(z^3 + xy) = 3z^2$

   Таким образом, дивергенция:

   $$\nabla \cdot \vec{F} = 3x^2 + 8y^7 + 3z^2$$
   ...