Даны 2 точки . Среди всевозможных кривых, соединяющих эти 2 точки, найти ту среди которых может достигаться экстремум следующего функционала:

Добавлена: 11.05.2026
Обновлена: 11.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Вариационное исчисление

Даны 2 точки . Среди всевозможных кривых, соединяющих эти 2 точки, найти ту среди которых может достигаться экстремум следующего функционала:

Условие:

Даны 2 точки $A(1,3), B(2,3)$ . Среди всевозможных кривых, соединяющих эти 2 точки, найти ту среди которых может достигаться экстремум следующего функционала:

J[y(x)]=\int_{a}^{b} y^{\prime}(x)\left[1+x^{2} y^{\prime}(x)\right] d x

Решение:

Определение функционала: Функционал имеет вид:
$J[y(x)] = \int_{1}^{2} y'(x) \left[ 1 + x^2 y'(x) \right] dx$
Вычисление производной функционала: Для нахождения экстремума функционала, мы используем уравнение Эйлера-Лагранжа:
$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0$
где $F = y' \left[ 1 + x^2 y' \right]$ .
Вычисление частных производных: Сначала найдем $\frac{\partial F}{\partial y}$ : Поскольку $F$ не зависит от $y$ , то:
$\frac{\partial F}{\partial y} = 0$

Теперь найдем $\frac{\partial F}{\partial y'}$ :
$F = y' + x^2 (y')^2$
...