Найти производную функции у по х, заданной параметрически в точке

Добавлена: 27.04.2026
Обновлена: 27.04.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ

Условие:

Найти производную функции у по х, заданной параметрически в точке $\mathrm{M}\left(\frac{3}{2} ; \frac{3}{2}\right)$ $ \left{

\begin{array}{l}\nx=\frac{3 t}{t^{3}+1} \\ y=\frac{3 t^{2}}{t^{3}+1} \end{array}

Решение:

Запишем функцию в параметрической форме:
x = (3∙t)/(t³ + 1),
y = (3∙t²)/(t³ + 1).

Найдем сначала значение параметра t, при котором точка M(3/2; 3/2) достигается. Подставляем в первое уравнение:

(3∙t)/(t³ + 1) = 3/2.
Умножим обе части на (t³ + 1):
3t = (3/2)(t³ + 1),
Домножим обе части на 2:
6t = 3t³ + 3 ⟹ 3t³ - 6t + 3 = 0,
Разделим на 3:
t³ - 2t + 1 = 0.
Подставляем t = 1:
1³ - 2∙1 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0.
Таким образом, t = 1 соответ...