Найти производную по направлению x, y= 3x-4/2x+3y направление вектора а ={-4;-3} в точке (1;-1)

Чтобы найти производную функции $y = \frac{3x - 4}{2x + 3y}$ по направлению вектора $\mathbf{a} ...

Сначала найдем частные производные функции $y$ по $x$ и $y$.

Функция $y$ задана как:

$$y = \frac{3x - 4}{2x + 3y}$$

Для удобства, обозначим $z = y$. Тогда у нас есть:

$$z = \frac{3x - 4}{2x + 3z}$$

Теперь найдем частные производные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$.

Для нахождения производной $z$ по $x$ используем правило частного производного:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(2x + 3z)(3) - (3x - 4)(2)}{(2x + 3z)^2}$$

Теперь подставим $x = 1$ и $y = -1$ в уравнение, чтобы найти $z$:

$$z = \frac{3(1) - 4}{2(1) + 3(-1)} = \frac{3 - 4}{2 - 3} = \frac{-1}{-1} = 1$$

Теперь подставим $z = 1$ в производную:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(2(1) + 3(1))(3) - (3(1) - 4)(2)}{(2(1) + 3(1))^2}$$

$$= \frac{(2 + 3)(3) - (3 - 4)(2)}{(2 + 3)^2} = \frac{5 \cdot 3 - (-1)(2)}{5^2} = \frac{15 + 2}{25} = \frac{17}{25}$$

Теперь найдем $\frac{\partial z}{\partial y}$:

$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(2x + 3y)(0) - (3x - 4)(3)}{(2x + 3y)^2}$$

Подставляем $x = 1$ и $y = -1$:

$$= \frac{(2(1) + 3(-1))(0) - (3(1) - 4)(3)}{(2(1) + 3(-1))^2} = \frac{(2 - 3)(0) - (-1)(3)}{(-1)^2} = \frac{0 + 3}{1} = 3$$

Теперь у нас есть частные производные:

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{17}{25}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 3$$

Градиент функции $z$ в точке $(1, -1)$ будет:

$$\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = \left( \frac{17}{25}, 3 \right)$$

Теперь найдем производную по направлению вектора $\mathbf{a}$. Для этого сначала нормализуем вектор $\mathbf{a}$:

$$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Нормализованный вектор:

$$\mathbf{u} = \left( \frac{-4}{5}, \frac{-3}{5} \right)$$

Теперь вычислим производную по направлению:

$$D_{\mathbf{u}} z = \nabla z \cdot \mathbf{u} = \left( \frac{17}{25}, 3 \right) \cdot \left( \frac{-4}{5}, \frac{-3}{5} \right)$$

$$= \frac{17}{25} \cdot \frac{-4}{5} + 3 \cdot \frac{-3}{5} = \frac{-68}{125} - \frac{9}{5} = \frac{-68}{125} - \frac{225}{125} = \frac{-293}{125}$$

Таким образом, производная функции $y$ по направлению вектора $\mathbf{a}$ в точке $(1, -1)$ равна:

$$D_{\mathbf{u}} z = \frac{-293}{125}$$