Найти производные функций заданных параметрически и неявно x=sin t/(t2+tg t) , y=arccos(1/(t+2))

Чтобы найти производные функций, заданных параметрически, мы будем использовать параметр \( t \) и найдем производные \(...

Функция \( x \) задана как: \[ x = \frac{\sin t}{t^2 + \tan t} \] Для нахождения производной \( \frac{dx}{dt} \) используем правило частного: \[ \frac{dx}{dt} = \frac{(t^2 + \tan t) \cdot \cos t - \sin t \cdot (2t + \sec^2 t)}{(t^2 + \tan t)^2} \] Функция \( y \) задана как: \[ y = \arccos\left(\frac{1}{t + 2}\right) \] Для нахождения производной \( \frac{dy}{dt} \) используем производную арккосинуса: \[ \frac{dy}{dt} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{1}{t + 2}\right)^2}} \cdot \left(-\frac{1}{(t + 2)^2}\right) = \frac{1}{(t + 2)^2 \sqrt{1 - \left(\frac{1}{t + 2}\right)^2}} \] Теперь мы можем найти \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\frac{1}{(t + 2)^2 \sqrt{1 - \left(\frac{1}{t + 2}\right)^2}}}{\frac{(t^2 + \tan t) \cdot \cos t - \sin t \cdot (2t + \sec^2 t)}{(t^2 + \tan t)^2}} \] Упрощая, получаем: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(t^2 + \tan t)^2}{(t + 2)^2 \sqrt{(t + 2)^2 - 1}} \cdot \frac{1}{(t^2 + \tan t) \cdot \cos t - \sin t \cdot (2t + \sec^2 t)} \] Таким образом, производная \( \frac{dy}{dx} \) для заданных параметрически функций равна: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{(t^2 + \tan t)^2}{(t + 2)^2 \sqrt{(t + 2)^2 - 1}} \cdot \frac{1}{(t^2 + \tan t) \cdot \cos t - \sin t \cdot (2t + \sec^2 t)} \]