Разбор задачи

Найти промежутки монотонности и выпуклости функции. Указать экстремум и точки перегиба. Найти асимптоты к графику функции.

Условие:

y=\frac{x^{3}-1}{4 x^{2}}

Функция:

\ny = \frac{x^{3} - 1}{4x^{2}}

Для нахождения промежутков монотонности найдем первую производную функции.

\ny' = \frac{(4x^{2})(3x^{2}) - (x^{3} - 1)(8x)}{(4x^{2})^{2}}

Упростим числитель:

\ny' = \frac{12x^{4} - 8x(x^{3} - 1)}{16x^{4}} = \frac{12x^{4} - 8x^{4} + 8x}{16x^{4}} = \frac{4x^{4} + 8x}{16x^{4}} = \frac{x(4x^{3} + 8)}{4x^{4}}

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

Какой из следующих шагов является ключевым для определения промежутков монотонности функции?

Нахождение второй производной функции.

Нахождение первой производной функции и определение её знака.

Нахождение асимптот функции.