Найти работу, совершаемую заданной переменной силой вдоль замкнутого пути , составленного из частей заданных кривых, в положительном направлении двумя способами: а) Криволинейный интеграл непосредственно свести к определенному; б) Использовать формулу

Добавлена: 12.05.2026
Обновлена: 12.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Математический анализ
#Дифференциальные уравнения

Найти работу, совершаемую заданной переменной силой вдоль замкнутого пути , составленного из частей заданных кривых, в положительном направлении двумя способами: а) Криволинейный интеграл непосредственно свести к определенному; б) Использовать формулу

Условие:

Найти работу, совершаемую заданной переменной силой $\bar{F}(x, y)=P(x, y) \bar{i}+Q(x, y) \bar{j}$ вдоль замкнутого пути $L$ , составленного из частей заданных кривых, в положительном направлении двумя способами: а) Криволинейный интеграл непосредственно свести к определенному; б) Использовать формулу Грина.

P(x, y)=x^{2}-2 x y, Q(x, y)=y^{2}+x y ; \quad L: y=x^{2}, y=x .

Решение:

Для решения задачи найдем работу, совершаемую силой вдоль замкнутого пути $L$ , используя два способа.

Шаг 1: Определение замкнутого пути $L$

Путь $L$ состоит из двух частей:

Кривая $y = x^2$ от точки $(0, 0)$ до точки $(1, 1)$ .
Кривая $y = x$ от точки $(1, 1)$ до точки $(0, 0)$ .

Таким образом, замкнутый путь можно описать как:

$C_1: y = x^2$ для $x$ от $0$ до $1$ .
$C_2: y = x$ для $x$ от $1$ до $0$ .

Шаг 2: Прямой расчет криволинейного интеграла

Работа $W$ вдоль пути $L$ может быть найдена как:

W = \int_L \bar{F} \cdot d\bar{r} = \int_{C_1} \bar{F} \cdot d\bar{r} + \int_{C_2} \bar{F} \cdot d\bar{r}.

Для кривой $C_1$ :

$\bar{r}_1 = x \bar{i} + x^2 \bar{j}$ .
$d\bar{r}_1 = (1 \bar{i} + 2x \bar{j}) dx$ .

Подставим $P$ и $Q$ :

P(x, y) = x^2 - 2xy = x^2 - 2x(x^2) = x^2 - 2x^3,

...

Внутри — полный разбор, аргументация, алгоритм решения, частые ошибки и как отвечать на каверзные вопросы препода, если спросит

Попробуй решить по шагам

Попробуй один шаг и продолжи в режиме обучения или посмотри готовое решение

При использовании формулы Грина для вычисления работы векторного поля по замкнутому контуру, что представляет собой подынтегральное выражение двойного интеграла?

Дивергенцию векторного поля.

Разность частных производных Q по x и P по y (∂Q/∂x - ∂P/∂y).

Сумму частных производных P по x и Q по y (∂P/∂x + ∂Q/∂y).