Найти распределение температуры - в сечении по длине стержня в моменты времени , удовлетворяющее уравнению: граничным условиям: , которые определяют независимость температуры на концах стержня и начальному условию: .

Добавлена: 06.05.2026
Обновлена: 06.05.2026
Предмет: Высшая математика
Автор: Кэмп

#Дифференциальные уравнения
#Уравнения математической физики

Найти распределение температуры - в сечении по длине стержня в моменты времени , удовлетворяющее уравнению: граничным условиям: , которые определяют независимость температуры на концах стержня и начальному условию: .

Условие:

Найти распределение температуры $u=u(x, t)$ - в сечении $x$ по длине стержня в моменты времени $t$ , удовлетворяющее уравнению:

\frac{\partial u}{\partial t}=a^{2} \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}} ;

граничным условиям:

u(-\infty, t), u(\infty, t)

, которые определяют независимость температуры на концах стержня и начальному условию:

u(x, 0)=f(x)

a=2 ; f(x)=2 e^{-2 x^{3}}

Решение:

Мы ищем функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению теплопроводности

(1) ∂u/∂t = a² ∂²u/∂x² (при a = 2)

на всей вещественной прямой (–∞ < x < ∞) с начальными условиями

(2) u(x,0) = f(x) = 2 e^(–2 x³),

а также с «граничными условиями на бесконечности», то есть при x → ±∞ решение определяется через интегральное представление (вытекающее из условий на всю прямую).

Ниже приведём пошаговое решение задачи.

────────────────────────────
Шаг 1. Вывод представления решения через фундаментальное решение...